Divisão em Partes Inversamente Proporcionais

Além dos problemas que solicitam a divisão de um número em partes diretamente proporcionais, encontramos aqueles em a divisão deve ser realizada em partes inversamente proporcionais.

A divisão de um número em partes inversamente proporcionais a outros números dados, consiste em se determinar as parcelas que são diretamente proporcionais ao inverso de cada um dos números dados e que somadas, totalizam o número original.

A divisão do número N em partes p₁, p₂, p₃, ..., p_n inversamente proporcionais aos números reais, diferentes de zero a₁, a₂,a₃, ..., a_n respectivamente, baseia-se em encontrar a constante K, real não nula, tal que:

Depois de encontrado o valor da constante K, basta substituí-lo nas igualdades onde foi utilizada e realizar as contas para identificar o valor de cada uma das partes.

Exemplos

Divida o número 248 em partes inversamente proporcionais a 3, 5, 7 e 9.

Conforme o explicado sabemos que:

• p₁ = K . ¹/₃
• p₂ = K . ¹/₅
• p₃ = K . ¹/₇
• p₄ = K . ¹/₉
• p₁ + p₂ + p₃ + p₄ = 248

Para encontrarmos o valor da constante K devemos substituir o valor de p₁, p₂, p₃ e p₄ na última igualdade:

Logo:

• p₁ = 315 . ¹/₃ = 105
• p₂ = 315 . ¹/₅ = 63
• p₃ = 315 . ¹/₇ = 45
• p₄ = 315 . ¹/₉ = 35

As partes procuradas são respectivamente 105, 63, 45 e 35.

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Divida o número 36 em parcelas inversamente proporcionais a 6, 4 e 3.

Do enunciado tiramos que:

• p₁ = K . ¹/₆
• p₂ = K . ¹/₄
• p₃ = K . ¹/₃
• p₁ + p₂ + p₃ = 36

Para encontrarmos o valor da constante K devemos substituir o valor de p₁, p₂ e p₃ na última expressão:

Portanto:

• p₁ = 48 . ¹/₆ = 8
• p₂ = 48 . ¹/₄ = 12
• p₃ = 48 . ¹/₃ = 16

As parcelas procuradas são respectivamente 8, 12 e 16.