1) Para esvaziar um compartimento com 700m3 de capacidade, 3 ralos levaram 7 horas para fazê-lo. Se o compartimento tivesse 500m3 de capacidade, ao utilizarmos 5 ralos quantas horas seriam necessárias para esvaziá-lo?
Primeiramente atribuamos uma letra a cada grandeza:
- M: A capacidade em metros cúbicos do compartimento;
- R: A quantidade de ralos;
- H: A duração da operação de esvaziamento em horas.
A representação para a análise do problema, obtida segundo os dados do enunciado é a seguinte:
Observe que na montagem a grandeza que estamos procurando (H), está posicionada à direita (poderia estar à esquerda), o que facilmente nos permitirá deixar a razão com o termo x isolada.
Agora vamos determinar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais em relação à grandezaH. Para isto utilizaremos setas com a mesma orientação para indicar grandezas diretamente proporcionais e com orientação inversa para indicar o oposto.
Vamos arbitrar que a orientação da grandeza H seja para baixo:
Agora vejamos se H e M são diretamente proporcionais ou não. Sabemos que ao diminuirmos a capacidade do compartimento, também iremos diminuir o tempo necessário para esvaziá-lo, então logicamente as duas grandezas são diretamente proporcionais, então a seta de M terá a mesma orientação da seta de H que é para baixo:
Determinemos se R e H são diretamente ou inversamente proporcionais. Ao aumentarmos a quantidade de ralos, automaticamente iremos diminuir o tempo necessário para esvaziar o compartimento, isto indica que as duas grandezas são inversamente proporcionais, então a seta de R será orientada para cima, direção oposta a da seta de H:
Agora devemos deixar todas as grandezas com a mesma orientação. Neste caso somente a grandeza R possui orientação oposta à da grandeza H e por isto somente ela será invertida, tanto a seta, quanto os seus elementos:
Por último podemos montar a proporção e resolvê-la:
Portanto com 5 ralos poderíamos esvaziar 500m3 em três horas.2) Duas costureiras trabalhando 3 dias, 8 horas por dia, produzem 10 vestidos. Se 3 costureiras trabalharem por 5 dias, quantas horas ela precisarão trabalhar por dia para produzirem 25 vestidos?
Vamos atribuir uma letra a cada grandeza:
- C: O número de costureiras;
- D: O número de dias de trabalho;
- J: A jornada de trabalho diária;
- P: A produção de vestidos.
Segundo os dados do enunciado a representação para a análise do problema é a seguinte:
Note que na montagem a grandeza J foi posicionada à direita para que facilmente possamos isolá-la no último passo.
Agora vamos determinar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais em relação à grandezaJ. Para isto utilizaremos setas com a mesma orientação para indicar grandezas diretamente proporcionais e com orientação inversa para indicar o oposto.
Segundo a lógica da orientação das setas, vamos arbitrar que a orientação da grandeza J seja para baixo para começarmos a análise:
C é inversamente proporcional a J, pois se aumentando o número de costureiras pode-se diminuir a jornada de trabalho para uma mesma produção:
D é inversamente proporcional a J, já que se aumentando o número de dias de trabalho pode-se diminuir a jornada de trabalho para uma mesma produção:
P é diretamente proporcional a J, já que se aumentarmos a produção de vestidos, teremos que aumentar a jornada de trabalho para um mesmo número de costureiras e dias de trabalho:
Deixemos agora todas as grandezas com a mesma orientação. As grandezas C e D são inversamente proporcionais à J, por isto as duas serão invertidas:
Montemos finalmente a proporção para a resolução do problema:
Cinco dias do trabalho de 3 costureiras podem render 25 vestidos sem que se altere a jornada diária de trabalho, ou seja, elas ainda continuarão a trabalhar 8 horas por dia.3) Seis galinhas botam 30 ovos em 5 dias. 20 galinhas botarão quantos ovos em 10 dias?
Vamos atribuir uma letra a cada uma das grandezas:
- G: A quantidade de galinhas;
- O: A quantidade de ovos;
- D: O número de dias.
A representação para a análise do problema, obtida segundo os dados do enunciado é a seguinte:
Note que na montagem posicionamos a grandeza procurada (O) à direita para que possamos facilmente isolá-la das demais.
Agora vamos determinar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais à grandeza O. Para isto utilizaremos setas com a mesma orientação para indicar grandezas diretamente proporcionais e com orientação inversa para indicar o oposto.
Vamos arbitrar que a orientação da grandeza O seja para baixo:
Agora vejamos se O e G são diretamente proporcionais ou não. Sabemos que ao aumentarmos a quantidade de galinhas, também iremos aumentar o número de ovos, sendo assim as duas grandezas são diretamente proporcionais, então a seta de G terá a mesma orientação da seta de O que é para baixo:
Determinemos se O e D são diretamente ou inversamente proporcionais. Ao aumentarmos o número de dias para a postura, também iremos aumentar a quantidade de ovos, isto nos mostra que as duas grandezas são diretamente proporcionais, então a seta de D será orientada para baixo, assim como a seta de O:
Como todas as grandezas têm a mesma orientação não precisamos realizar nenhuma inversão (todas as grandezas são proporcionais entre si), resta-nos então montar a proporção e resolvê-la:
20 galinhas botarão 200 ovos em 10 dias.4) Uma família com 2 duas pessoas consome 12m3 de água a cada 30 dias. Se mais uma pessoa com os mesmos hábitos de consumo se juntar a ela, quantos metros cúbicos de água eles consumirão em uma semana?
Como sempre, a cada uma das grandezas atribuiremos uma letra:
- F: A quantidade de famílias;
- V: O volume de água consumido;
- D: O número de dias de consumo.
Com a família passando de 2 para 3 pessoas e com o números de dias de consumo sendo reduzido de 30 para 7 dias, podemos montar a seguinte representação para a análise do problema:
Novamente posicionamos a grandeza procurada (V) à direita pelo motivo já comentado em explicações anteriores.
As grandezas são todas diretamente proporcionais à grandeza V? Vamos determinar isto agora.
Como já padronizamos, arbitremos que a orientação da grandeza V seja para baixo:
Agora vejamos se V e F são diretamente proporcionais ou não. Sabemos que ao aumentarmos a quantidade de integrantes da família, também iremos aumentar o consumo de água, sendo assim as duas grandezas são diretamente proporcionais, então a seta de F terá a mesma orientação da seta de V que é para baixo:
Determinemos se V e D são diretamente ou inversamente proporcionais. Ao diminuirmos o número de dias de consumo, também iremos diminuir o consumo de água (considerando-se apenas as duas grandezas), vemos então que as duas grandezas são diretamente proporcionais, logo a seta de D será orientada para baixo, assim como a seta de V:
Como todas as grandezas têm a mesma orientação não precisamos realizar nenhuma inversão (todas as grandezas são proporcionais entre si), resta-nos então montar a proporção e resolvê-la:
Já que nenhumas das grandezas têm orientação oposta à da grandeza procurada V, podemos simplesmente montar a proporção e resolvê-la:
Com três integrantes a família irá consumir 4,2m3 em 7 dias.5) Um grupo de 10 trabalhadores descarregam 210 caixas de mercadoria em 3 horas. Quantas horas 25 trabalhadores precisarão para descarregar 350 caixas?
Primeiro passo, atribuir uma letra a cada uma das grandezas:
- T: O número de trabalhadores;
- C: A quantidade de caixas;
- D: A duração da operação de descarga.
Do enunciado temos a seguinte representação para a análise do problema:
A grandeza procurada (D) está à esquerda para que seja isolada mais facilmente no último passo.
Como já padronizamos, arbitremos que a orientação da grandeza D seja para baixo:
As grandezas D e T terão as setas com orientação oposta, isto porque ao aumentarmos o número de trabalhadores, diminuiremos o tempo da operação de descarga (considerando-se apenas as duas grandezas):
Se aumentarmos a quantidade de caixas a descarregar, também aumentaremos a duração da operação, sendo assim as grandezas D e C são diretamente proporcionais, e terão a mesma orientação de seta:
Como a grandeza T tem orientação oposta, iremos realizar a sua inversão:
Finalmente montaremos a proporção e iremos resolvê-la:
350 caixas podem ser descarregadas por 25 trabalhadores em 2 horas de trabalho.
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