Divisão em Partes Diretamente e Inversamente Proporcionais - Composta

Temos os problemas que solicitam a divisão de um número em partes diretamente proporcionais a outro grupo de números, assim como aqueles que pedem a divisão em partes inversamente proporcionais. Temos também os casos onde em uma mesma situação um número de ser dividido em partes diretamente proporcionais a um grupo de números e em partes inversamente proporcionais a um outro grupo de números.

A divisão do número N em partes p₁, p₂, p₃, ..., p_n diretamente proporcionais aos números reais, diferentes de zero a₁, a₂,a₃, ..., a_n respectivamente e inversamente proporcionais aos números reais, diferentes de zero b₁, b₂, b₃, ..., b_nrespectivamente, baseia-se em encontrar a constante K, real não nula, tal que:

Ou de forma mais simplificada:

Depois de encontrado o valor da constante K, basta substituí-lo nas igualdades onde foi utilizada e realizar as contas para identificar o valor de cada uma das partes.

Exemplos

Divida o número 1228 em partes diretamente proporcionais a 1, 2, 3 e 4 e inversamente proporcionais a 5, 6, 7 e 8, respectivamente.

Conforme o explicado sabemos que:

• p₁ = K . ¹/₅
• p₂ = K . ²/₆
• p₃ = K . ³/₇
• p₄ = K . ⁴/₈
• p₁ + p₂ + p₃ + p₄ = 1228

Para encontrarmos o valor da constante K devemos substituir o valor de p₁, p₂, p₃ e p₄ na última igualdade:

Logo:

• p₁ = 840 . ¹/₅ = 168
• p₂ = 840 . ²/₆ = 280
• p₃ = 840 . ³/₇ = 360
• p₄ = 840 . ⁴/₈ = 420

As partes procuradas são respectivamente 168, 280, 360 e 420.

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Divida o número 981 em partes diretamente proporcionais a 2, 6 e 3 e inversamente proporcionais a 5, 9 e 4, respectivamente.

Do enunciado tiramos que:

• p₁ = K . ²/₅
• p₂ = K . ⁶/₉
• p₃ = K . ³/₄
• p₁ + p₂ + p₃ = 981

Para encontrarmos o valor da constante K devemos substituir o valor de p₁, p₂ e p₃ na última expressão:

Portanto:

• p₁ = 540 . ²/₅ = 216
• p₂ = 540 . ⁶/₉ = 360
• p₃ = 540 . ³/₄ = 405

As parcelas procuradas são respectivamente 216, 360 e 405.