Regra de três

A resolução de problemas que envolvem grandezas proporcionais pode ser realizada através de uma regra prática denominada "regra de três".

Se tivermos duas grandezas diretamente proporcionais, utilizaremos a "regra de três simples direta" e caso elas sejam inversamente proporcionais, utilizaremos a "regra de três simples inversa".

Nos problemas onde temos três ou mais grandezas, utilizamos a "regra de três composta". Observe que neste caso, um mesmo problema pode envolver tanto grandezas diretamente proporcionais, quanto grandezas inversamente proporcionais.

Regra de Três Simples Direta

Uma pessoa recebe R$ 1.800,00 por 30 dias trabalhados. Quantos dias esta pessoa precisará trabalhar para ter direito a receber R$ 1.200,00?

Este é o típico caso da utilização de uma "regra de três simples direta". Simples por envolver apenas duas grandezas proporcionais, e direta, porque quando uma grandeza aumenta, a outra também aumenta. Se uma diminui, o mesmo ocorre com a outra.

Chamemos de S a grandeza que representa o salário e de D a grandeza que representa o número de dias de trabalho e vejamos a representação abaixo:

As setas apontam na mesma direção, pois as grandezas são diretamente proporcionais. Percebemos isto, pois ao diminuirmos o número de dias trabalhados, também teremos o respectivo salário diminuído. Como o salário vai ser reduzido, obviamente o número de dias de trabalho também será. Concluímos assim, que as grandezas S e D são diretamente proporcionais.

De acordo com a orientação das setas, podemos então montar a proporção:

Concluímos que para ter o direito a receber os R$ 1.200,00, a pessoa terá que trabalhar por 20 dias.

Regra de Três Simples Inversa

Dois pedreiros trabalhando juntos conseguem construir um certo muro em 6 horas de trabalho. Se ao invés de dois, fossem três pedreiros, em quantas horas tal muro poderia ser construído?

Você pode facilmente compreender que aumentando o número de pedreiros, o tempo necessário para a construção do muro será menor, pois a mão de obra aumenta, mas a tarefa continua a mesma.

Percebemos então que este problema trata grandezas inversamente proporcionais, ou seja, quando uma grandeza aumenta, a outra diminui e vice-versa.

Vamos chamar de P a grandeza que representa a quantidade de pedreiros e de H a grandeza que representa o número de horas de trabalho para a construção do muro. Vejamos então a representação abaixo:

Neste caso as setas apontam na direção oposta, pois as grandezas são inversamente proporcionais.

Para a resolução do problema, iremos novamente utilizar a "propriedade fundamental das proporções", no entanto para que isto seja possível, devemos primeiro deixar as duas setas com a mesma orientação. Como a seta referente à grandeza H (a grandeza referente ao x) está para cima, iremos inverter os termos da outra razão para que a sua seta também fique para cima:

Perceba que sempre que tenhamos que realizar alguma mudança na orientação das setas, a grandeza que contém o termo x é tomada como referência e não é alterada. A outra grandeza, ou outras no caso de se tratar de uma regra de três composta, é que deve mudar.

Então agora podemos montar a proporção segundo a "propriedade fundamental das proporções":

Portanto com três pedreiros serão necessárias apenas 4 horas de trabalho.

Regra de Três Composta

Uma pessoa consome 4000 litros de água por mês. Quantos litros de água duas pessoas irão consumir em um ano?

Primeiramente para facilitar a explicação, iremos atribuir uma letra a cada grandeza. Sejam elas:

• P: O número de pessoas;
• L: A quantidade de litros de água;
• T: O período de tempo envolvido.

Montemos a representação para analisarmos o problema, mas no lugar de um ano, iremos utilizar doze meses, para que os dois períodos de tempo fiquem na mesma unidade de medida:

A ordem de colocação das grandezas na representação acima, é a mesma que a do enunciado do problema. Como você pode perceber, a grandeza L, que é a grandeza que estamos procurando (a grandeza que contém o termo x), não está posicionada nem à direita, nem à esquerda do diagrama. Isto é uma má ideia, pois irá dificultar em muito a resolução do problema, por isto devemos passá-la para a extremidade direita, ou para a esquerda. Vamos escolher esta última:

Agora ficou melhor, vamos então identificar a orientação das setas, ou em outras palavras, determinar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais entre si.

A grandeza de referência é a grandeza L. A posição da sua seta pode ser arbitrada tanto para cima, quanto para baixo, tanto faz. Vamos escolher para baixo:

Agora vamos determinar se L e P são diretamente proporcionais ou não. Sabemos que uma pessoa consome 4000 litros. Como mais pessoas irão consumir mais litros, então as grandezas são diretamente proporcionais, logo a seta de P terá a mesma orientação da seta de L, ou seja, também para baixo:

Finalmente falta-nos determinar se L e T são diretamente ou inversamente proporcionais. Sabemos que em um mês são consumidos 4000 litros. Obviamente se aumentarmos o tempo de consumo, também aumentaremos o consumo em litros, então as grandezas são diretamente proporcionais, logo a seta de T terá a mesma orientação da seta de L, isto é, para baixo:

Se houvesse alguma seta com orientação oposta à seta de L, os termos desta grandeza deveriam ser invertidos. Como não é o caso, basta-nos montarmos a proporção e resolvê-la:

Portanto as duas pessoas irão consumir 96 mil litros de água em um ano. A título de curiosidade, 96000 litros equivalem a 96 metros cúbicos.

Para encher um tanque com 400 metros cúbicos de capacidade, duas torneiras levaram 4 horas para enchê-lo. Quantas horas seriam necessárias para enchê-lo com 6 torneiras, se o tanque tivesse apenas 300 metros cúbicos de capacidade?

Primeiro vamos atribuir uma letra a cada grandeza:

• M: A capacidade em metros cúbicos do tanque;
• T: A quantidade de torneiras;
• H: A duração de cada operação em horas.

A representação para analisarmos o problema é a seguinte:

Observe que na montagem a grandeza H, que é a grandeza que estamos procurando (a grandeza que contém o termo x), deve estar posicionada à direita, como colocamos, ou à esquerda se desejássemos, mas não em outra posição. O motivo disto é deixar a razão com o termo x isolada.

A partir daí podemos então identificar a orientação das setas, ou em outras palavras, determinar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais entre si.

A grandeza de referência é a grandeza H, pois é ela que está sendo procurada. Você já sabe que a posição da sua seta pode ser arbitrada tanto para cima, quanto para baixo. Para padronizar, vamos escolher a seta da grandeza de referência sempre para baixo:

Vamos determinar se H e M são diretamente proporcionais ou não. Sabemos que ao diminuirmos a capacidade do tanque, também iremos diminuir o tempo necessário para enchê-lo, então em sendo assim, as duas grandezas são diretamente proporcionais, logo a seta de M terá a mesma orientação da seta de H que é para baixo:

Vamos agora determinar se T e H são diretamente ou inversamente proporcionais. Sabemos que se aumentarmos a quantidade de torneiras, automaticamente iremos diminuir o tempo necessário para encher o tanque, por isso as duas grandezas são inversamente proporcionais, logo a seta de T terá orientação oposta a da seta de H, ou seja, será para cima, pois quanto uma aumenta a outra diminui:

Podemos perceber que a seta da grandeza T possui orientação oposta à da grandeza H, devemos então inverter tanto a seta, quanto os seus elementos. Teremos então:

Por fim montemos a proporção e vamos resolvê-la seguindo a "propriedade fundamental das proporções":

Portanto com 6 torneiras poderíamos encher 300 metros cúbicos em apenas uma hora.

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