Números e Grandezas Proporcionais

Grandezas

Fisicamente falando, grandeza tem um conceito mais amplo, mas matematicamente que é o que nosso foco, podemos defini-la como tudo aquilo que pode ser medido. O número de pessoas em um elevador, o seu peso e a sua altura são exemplos de grandezas.

Medir é comparar duas grandezas, utilizando uma delas como modelo ou padrão. Uma costureira, por exemplo, para obter as medidas de uma pessoa utiliza uma fita métrica, que lhe permite comparar as medidas da pessoa com as da fita métrica, que se baseia no metro como unidade de medida. Ela então irá desenhar um molde e o irá utilizar como padrão para o corte do tecido. As medidas deste molde serão então uma grandeza que será utilizada para fazer a roupa nas mesmas proporções da pessoa.

Grandezas Diretamente Proporcionais

Botando-se embaixo de uma torneira completamente aberta, um balde para encher, quanto mais tempo a torneira permanecer aberta, quanto mais água o balde irá conter, pelo menos até que esteja cheio. As grandezas tempo de vazão da água e volume de água no balde são grandezas diretamente proporcionais, pois quanto maior o tempo de vazão da água, maior o volume de água no balde.

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando ao aumentarmos o valor de uma delas um certo número de vezes, o respectivo valor da outra grandeza igualmente aumenta o mesmo número de vezes. Quando diminuímos o valor de uma delas, proporcionalmente o respectivo valor da outra também diminui.

Vamos analisar a tabela abaixo que representa os primeiros dez segundos do balde sob a torneira completamente aberta:

Tempo em segundos	Volume de água no balde em litros
1	0,14
2	0,28
3	0,42
4	0,56
5	0,70
6	0,84
7	0,98
8	1,12
9	1,26
10	1,40

Conceitualmente a razão de dois valores quaisquer da primeira coluna é igual a razão dos respectivos valores da segunda coluna, assim temos:

Cada uma das igualdades acima são exemplos de uma proporção. Estas proporções são formadas pela igualdade de duas razões. A primeira é a razão de dois valores da primeira grandeza e a segunda é a razão dos respectivos valores da segunda grandeza.

Exemplos Envolvendo Grandezas e Números Diretamente Proporcionais

Se o balde da situação acima tiver uma capacidade de 7,98 litros, estando o mesmo vazio, quantos segundos serão necessários para enchê-lo completamente?

Podemos escolher qualquer uma das linhas da tabela acima, para juntamente com o 7,98 corresponde à capacidade do balde, montarmos uma proporção.

Vamos chamar de t o tempo que estamos procurando e por comodidade nos cálculos, vamos escolher a primeira linha da tabela para montarmos a proporção abaixo:

Observe que esta proporção segue os mesmos padrões das quatro proporções citadas mais acima. A primeira razão é formada por dois valores da primeira coluna e a segunda razão, pelos dois respectivos valores da segunda coluna, só que neste caso a linha do consequente (denominador) não têm os seus dados visíveis na tabela, pois paramos a tabela na décima linha.

Vamos encontrar o valor de t recorrendo à propriedade da quarta proporcional que estudamos no tópico proporção:

• Serão necessários 57 segundos para se encher o balde completamente.

Os números 15, 17, 21 e 25 são respectivamente diretamente proporcionais aos números x, y, z e 275. Quais os valores de x, y e z?

A partir dos dados do enunciado podemos escrever a seguinte proporção:

O valor da variável x pode ser obtido da seguinte forma:

De forma análoga obtemos o valor da variável y:

E por fim o valor da variável z:

Podemos então dizer que os números 15, 17, 21 e 25 são respectivamente diretamente proporcionais aos números 165, 187,231 e 275, pois a divisão de qualquer um dos números do primeiro grupo, pelo respectivo número do segundo grupo é sempre igual a ¹/₁₁, ou seja, também podemos obter o valor de x, y ou z simplesmente se dividindo 15, 17 ou 21 por ¹/₁₁.

¹/₁₁ é o resultado da simplificação da única razão que não possui incógnitas, ²⁵/₂₇₅, por 25.

• 165, 187 e 231 são os respectivos valores de x, y e z

Grandezas Inversamente Proporcionais

Na situação de estudo que tivemos acima, vimos que o referido balde leva 57 segundos para ser completamente cheio, quando o mesmo está totalmente vazio e a torneira completamente aberta, mas o que aconteceria se tivéssemos diversas torneiras com vazão idêntica?

Vejamos mais esta outra tabela:

Quantidade de torneiras completamente abertas	Tempo em segundos para se encher o balde
1	57
2	28,5
3	19
4	14,25
5	11,4

Você deve ter percebido o óbvio. Quanto mais torneiras se têm, mais rapidamente se enche o balde.

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando ao aumentarmos o valor de uma delas um certo número de vezes, o respectivo valor da outra grandeza diminui o mesmo número de vezes. Quando diminuímos o valor de uma delas, proporcionalmente o respectivo valor da outra aumenta.

Vejamos as seguintes proporções obtidas a partir da tabela acima:

Cada uma destas proporções é formada pela igualdade da razão de dois valores da primeira grandeza com o inverso da razão dos respectivos valores da segunda grandeza. Repare que os termos da segunda razão estão invertidos em relação aos termos da primeira.

Exemplos Envolvendo Grandezas e Números Inversamente Proporcionais

Estando o balde vazio, em quantos segundos conseguiremos enchê-lo completamente utilizando-nos de 6 torneiras?

Como no exemplo anterior, podemos escolher qualquer uma das linhas da tabela acima e para variar vamos escolher a terceira linha juntamente com o 6, das seis torneiras, para montarmos a proporção.

Novamente iremos chamar de t o tempo que estamos procurando. A proporção será então:

Note que temos ^t/₁₉ no segundo membro, que é o inverso da razão ¹⁹/_t.

Novamente recorrendo à propriedade da quarta proporcional vamos encontrar o valor de t:

• Serão necessários 9,5 segundos para se enchê-lo completamente.

Os números a, 3 e 4 são respectivamente inversamente proporcionais aos números 12, 8 e b. Quais os valores de a e b?

Com os dados do problema montamos a proporção abaixo:

Repare que o antecedente de cada razão (numerador da fração) é um valor do primeiro conjunto. Repare principalmente que o consequente de cada razão (denominador da fração) é o inverso do respectivo valor do segundo conjunto, isto porque eles são inversamente proporcionais.

Continuando:

Agora facilmente podemos obter o valor de a:

E também o valor de b:

Então os números 2, 3 e 4 são respectivamente inversamente proporcionais aos números 12, 8 e 6. Observe que multiplicando um número do primeiro conjunto de números, pelo respectivo número do outro conjunto, o resultado sempre será 24, pois os números são inversamente proporcionais. Então se dividirmos 24 por um número do consequente iremos obter o respectivo número do antecedente e se dividirmos 24 por um número do antecedente iremos obter o respectivo número do consequente.

Note que neste exemplo se multiplicarmos o segundo elemento de cada conjunto iremos obter o número 24 ao qual nos referimos no parágrafo anterior e pelo explicado neste mesmo parágrafo, de uma forma alternativa podemos obter o valor dea e o valor de b. O segundo elemento foi escolhido porque ele não possui variáveis, somente números.

• O valor de a é 2 e o valor de b é 6.