Equação do segundo grau: exercícios resolvidos

1) O triplo do quadrado do número de filhos de Pedro é igual a 63 menos 12 vezes o número de filhos. Quantos filhos Pedro tem?

Sendo x o número de filhos de Pedro, temos que 3x² equivale ao triplo do quadrado do número de filhos e que63 - 12x equivale a 63 menos 12 vezes o número de filhos. Montando a sentença matemática temos:

3x² = 63 - 12x

Que pode ser expressa como:

3x² + 12x - 63 = 0

Temos agora uma sentença matemática reduzida à forma ax² + bx + c = 0, que é denominada equação do 2° grau. Vamos então encontrar as raízes da equação, que será a solução do nosso problema:

Primeiramente calculemos o valor de Δ:

Como Δ é maior que zero, de antemão sabemos que a equação possui duas raízes reais distintas. Vamos calculá-las:

A raízes encontradas são 3 e -7, mas como o número de filhos de uma pessoa não pode ser negativo, descartamos então a raiz -7.

Portanto:

Pedro tem 3 filhos.

2) Uma tela retangular com área de 9600cm² tem de largura uma vez e meia a sua altura. Quais são as dimensões desta tela?

Se chamarmos de x altura da tela, temos que 1,5x será a sua largura. Sabemos que a área de uma figura geométrica retangular é calculada multiplicando-se a medida da sua largura, pela medida da sua altura. Escrevendo o enunciado na forma de uma sentença matemática temos:

x . 1,5x = 9600

Que pode ser expressa como:

1,5x² - 9600 = 0

Note que temos uma equação do 2° grau incompleta, que como já vimos terá duas raízes reais opostas, situação que ocorre sempre que o coeficiente b é igual a zero. Vamos aos cálculos:

As raízes reais encontradas são -80 e 80, no entanto como uma tela não pode ter dimensões negativas, devemos desconsiderar a raiz -80.

Como 1,5x representa a largura da tela, temos então que ela será de 1,5 . 80 = 120. Portanto:

Esta tela tem as dimensões de 80cm de altura, por 120cm de largura.

3) O quadrado da minha idade menos a idade que eu tinha 20 anos atrás e igual a 2000. Quantos anos eu tenho agora?

Denominando x a minha idade atual, a partir do enunciado podemos montar a seguinte equação:

x² - (x - 20) = 2000

Ou ainda:

A solução desta equação do 2° grau completa nós dará a resposta deste problema. Vejamos:

As raízes reais da equação são -44 e 45. Como eu não posso ter -44 anos, é óbvio que só posso ter 45 anos. Logo:

Agora eu tenho 45 anos.

4) Comprei 4 lanches a um certo valor unitário. De outro tipo de lanche, com o mesmo preço unitário, a quantidade comprada foi igual ao valor unitário de cada lanche. Paguei com duas notas de cem reais e recebi R$ 8,00 de troco. Qual o preço unitário de cada produto?

O enunciado nos diz que os dois tipos de lanche têm o mesmo valor unitário. Vamos denominá-lo então de x.

Ainda segundo o enunciado, de um dos produtos eu comprei 4 unidades e do outro eu comprei x unidades.

Sabendo-se que recebi R$ 8,00 de troco ao pagar R$ 200,00 pela mercadoria, temos as informações necessárias para montarmos a seguinte equação:

4 . x + x . x + 8 = 200

Ou então:

Como x representa o valor unitário de cada lanche, vamos solucionar a equação para descobrimos que valor é este:

As raízes reais da equação são -16 e 12. Como o preço não pode ser negativo, a raiz igual -16 deve ser descartada. Assim:

O preço unitário de cada produto é de R$ 12,00.

5) O produto da idade de Pedro pela idade de Paulo é igual a 374. Pedro é 5 anos mais velho que Paulo. Quantos anos tem cada um deles?

Se chamarmos de x a idade de Pedro, teremos que x - 5 será a idade de Paulo. Como o produto das idades é igual a 374, temos que x . (x - 5) = 374.

Esta sentença matemática também pode ser expressa como:

Primeiramente para obtermos a idade de Pedro, vamos solucionar a equação:

As raízes reais encontradas são -17 e 22, por ser negativa, a raiz -17 deve ser descartada. Logo a idade de Pedro é de 22 anos.

Como Pedro é 5 anos mais velho que Paulo, Paulo tem então 17 anos. Logo:

Pedro tem 22 anos e Paulo tem 17 anos.

6) Há dois números cujo triplo do quadrado é a igual 15 vezes estes números. Quais números são estes?

Em notação matemática, definindo a incógnita como x, podemos escrever esta sentença da seguinte forma:

3x² = 15x

Ou ainda como:

3x² - 15x = 0

A fórmula geral de resolução ou fórmula de Bhaskara, pode ser utilizada na resolução desta equação, mas por se tratar de uma equação incompleta, podemos solucioná-la de uma outra forma.

Como apenas o coeficiente c é igual a zero, sabemos que esta equação possui duas raízes reais. Uma é igual azero e a outra é dada pelo oposto do coeficiente b dividido pelo coeficiente a. Resumindo podemos dizer que:

Temos então:

Assim sendo:

Os dois números são 0 e 5.

7) Quais são as raízes da equação x² - 14x + 48 = 0?

Podemos resolver esta equação simplesmente respondendo esta pergunta: Quais são os dois números que somados totalizam 14 e que multiplicados resultam em 48?

Sem qualquer esforço chegamos a 6 e 8, pois 6 + 8 = 14 e 6 . 8 = 48.

Para simples conferência, vamos solucioná-la também através da fórmula de Bhaskara:

As raízes da equação x² - 14x + 48 = 0 são 6 e 8.

8) O dobro do quadrado da nota final de Pedrinho é zero. Qual é a sua nota final?

Sendo x a nota final, matematicamente temos:

2x² = 0

Podemos identificar esta sentença matemática como sendo uma equação do segundo grau incompleta, cujos coeficientes b e c são iguais a zero.

Conforme já estudamos este tipo de equação sempre terá como raiz real o número zero. Apenas para verificação vejamos:

A nota final de Pedrinho é igual a zero.

9) Solucione a equação biquadrada: -x⁴ + 113x² - 3136 = 0.

Substituindo na equação x⁴ por y² e também x² e y temos:

-y² + 113y - 3136 = 0

A resolvendo temos:

Substituindo os valores de y na expressão x² = y temos:

Para y₁ temos:

Para y₂ temos:

Assim sendo:

As raízes da equação biquadrada -x⁴ + 113x² - 3136 = 0 são: -8, -7, 7 e 8.

10) Encontre as raízes da equação biquadrada: x⁴ - 20x² - 576 = 0.

Novamente iremos substituir x⁴ por y² e x² e y, obtendo uma equação do segundo grau:

y² - 20y - 576 = 0

Ao resolvermos a mesma temos:

Substituindo os valores de y na expressão x² = y obtemos as raízes da equação biquadrada:

Para y₁ temos:

Para y₂, como não existe raiz quadrada real de um número negativo, o valor de -16 não será considerado.

Desta forma:

As raízes da equação biquadrada x⁴ - 20x² - 576 = 0 são somente: -6 e 6.

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